张蜀青在教研活动中发言。资料图片

圆锥曲线习题课 （高二数学） 执教者：张蜀青 扫描二维码即可观看

    人物介绍

    张蜀青，理学博士，正高级教师，特级教师。国家高层次人才特支计划教学名师，广东省特支计划教学名师，广东省名教师工作室主持人。1993年7月至2023年7月在广州市执信中学担任数学教师及学科组长。2023年8月作为人才引进，在广州大学数学与信息科学学院工作，任教高等数学、数学教育等课程。近年来在核心期刊发表多篇文章，作为主要撰写人完成《问题驱动的中学数学课堂教学——理论与实践卷》等4本教育专著。    

    作为一名中学数学教师，在职业生涯前十多年里，我的注意力几乎都集中在如何提高学生的考试分数上。我花费很多时间和精力下载试卷、比较试题，看看有什么题型或者新奇的解题方法没有讲过，然后赶紧在课堂上补充。当时，我对自己工作的评价也停留在看平均分、合格率、优秀率、最高分在全年级乃至全市、全省的排名。但是达到了这些目标，就是一位真正优秀的教师吗？苏霍姆林斯基对此已经预先给出了答案：“不要让上课、评分成为人的精神生活的唯一的、吞没一切的活动领域。”他认为知识既是目的又是手段，知识不是为了“储存”，而是为了“流通”。

    问题驱动 重构教学

    经过20多年课改，如今教师越来越注重关于知识的起源或应用的讲解。如新、旧版教材里《椭圆的标准方程》中，对椭圆的探究都是用“拉线作图”画出一个椭圆，从而给出定义：“平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间距离）的点的轨迹叫作椭圆。”但这个探究方法是如何想到的？近十年来，不少教师和学者为此做了很多探索。有的教师使用折纸的办法让学生做出圆锥曲线，有的教师尝试用著名的Dandelin双球模型发现椭圆的焦点，还有的教师利用了椭圆的第三定义，但是这些仍然没有解决“怎么想到的”这个问题，甚至有的方法还会因为要求运用过高的几何证明而冲淡了主题。

    如何创设出科学的问题情境，让学生去发现椭圆的性质并给出其定义？纵观圆锥曲线的发展，它的几何性质在公元前400年就被发现了，但直到17世纪，科学家在研究光学问题时发现圆锥曲线的性质可以用来解决相关问题，这才使得圆锥曲线再次被重视起来。电影放映机的工作原理正是利用了椭圆的几何性质。

    于是我在课堂上从放映机的工作原理开始，首先抛出一个问题：“放映机上的透镜会不会是圆球面的一部分？即透镜的曲面截口线是不是一段圆弧？”学生们想到了反证法，先假设这是一段圆弧，则光线被透镜反射后必经原路返回到圆心O，不可能聚焦于异于圆心O的另外一点F，从而否定了这个假设。此时，我抛出第二个问题：“这条截口线应该是什么样的曲线？”有些预习了的学生根据教学进度猜测是椭圆，但是无法提供充分的理由。我提示学生们抓住光线反射原理这个关键点，终于有部分学生利用光线反射原理，借助法线和切线找到了截口线上的点到O、F两点的距离之和为定值这一规律。紧接着我抛出第三个问题：“具有这个几何性质的点的轨迹是什么？你能画出来吗？”学生们借助用绳子画圆的办法画出了椭圆，还在这个实践中发现把绳子绷直固定在O、F处是无法画出椭圆的，从而发现了O、F两点之间的距离跟定值的关系。最后，我让学生像直线、圆那样给这条曲线写出代数式。

    与常规课堂不同的是，这节课除了推演，没有任何练习环节。由于课堂时间只有40分钟，起初，对于把宝贵的15分钟放在做练习上，还是引领学生探索“椭圆是什么以及为什么”上，我有所纠结。但最终，我选择了后者。做练习虽然能帮助学生巩固对概念的理解，但属于模仿，缺少探究性。课堂教学应该把发展思维、培养核心素养放在首位，不妨把一些模仿、固化的环节留到课后。这节课通过设置科学的问题情境，由学生来完成对椭圆定义的再创造，每个知识要点都是学生实践探索所得。这个过程虽然存在困难，但是克服困难才更能让学生真正体会解决问题的快乐。

    课题探究 深度学习

    深度学习是近几年的热门话题，很多教师认为深度学习就是加大例题、习题的难度。仔细阅读教育部的文件和相关研究论述，可以发现深度学习不仅强调深度思维，更强调培养学生发展核心素养，关注教学的本质，让生本理念在深度学习中落实。因此，深度学习不是盲目加大难度，也不是课堂场面上的热热闹闹，而是通过师生间激烈深刻的思维碰撞，引领学生探索知识的本质以及知识背后蕴含的思想。

    以“统计”这一章为例，由于高考对这部分的考查倾向于应用，多数时候只要把数据套入公式计算出结果即可，这就导致高中统计的学习成了统计公式的使用学习。学生学完这章感觉既简单又艰涩：感觉简单，是因为考试、作业套用公式就行，相对而言没有太多思维量；感觉艰涩，是因为完全不知道这些公式因何产生，知识点之间的逻辑关系不清楚，很快就忘了。

    于是，我针对这个板块进行课题研究式教学。我根据学生小学、初中的统计基础，把高中统计内容分为三个子课题——获取数据的方法、单个变量数据的统计分析、成对数据的统计分析，从而展开课题研究。在教学过程中，我发现了新的问题。由于小学初中学过抽样、平均数、方差等知识，到了高中学这部分内容时，很多学生提不起兴趣，有些教师也觉得太简单就一带而过，导致高中的新增知识也被忽略了。

    鉴于此，我决定改变教学方式。首先，指导学生通过阅读官方发布的社会民生统计报告，了解统计报告的一般形式。其次，给学生布置两个任务：在班级完成一个敏感问题的普查（敏感问题由学生在合法合规范围内自定）；运用所掌握的统计学知识，完成对本年级学生假期学习时长和睡眠时长的调查，包括运用所知道的统计工具分析数据、描述调查结果、撰写调查报告。在这个活动中，学生们了解了所学的统计知识能解决什么问题，解决这些问题的价值与意义何在，以及想进一步解决更多问题还需要做什么探索。学生们对这个活动兴趣很高，任务完成率达到100%，研究结果还在年级进行了展评。

    在后续学习中，学生们学会用类似的方式提出问题、查找资料、演绎推理，感受到统计知识的神奇所在。这种在教师引领下的学习新知，如同做课题研究，不但能帮助学生弄清楚每个知识点因何产生，向何处去，还能运用在实际生活中。这就是深度学习。

    掇菁撷华 行以致远

    数学知识与数学文化之间存在着密切关系，一个拥有丰富数学文化的人，通常对数学学习有更强烈的兴趣和动机。

    2009年，我校一位2003届的校友破解了一个学术界的重大难题，成为亚洲第一个在国际计算机视觉与模式识别会议（CVPR）拿到最佳论文奖的人。他在高中阶段并不是一个爱刷题的人，但成绩始终名列前茅。为此我特地问他有什么独特的学习方法，他说自己每天完成功课之余就是读书。著名科普作家、特级教师张远南先生编写的“数学故事丛书”，是他非常喜欢的一套书。他通过读数学史厘清知识的来龙去脉，这对他后续的学习和工作产生了深远影响。一个人若想在学术上有所创新，突破人类认知边界，就必须有科学家的眼光和思维方式。这种能力无法靠刷题来培养，但可以通过弄清楚知识的生成过程而习得。后来，他还把“数学故事丛书”这套书送给了我，我也立即在课堂上分享给当时所教的学生们。

    近年来，越来越多的教师开始重视在教学中渗透数学文化，但我认为，其形式不应止于引进数学史和次数有限的文化欣赏，还应运用数学文化中的数学思维方式和解决问题的方法去影响学生的思维模式，鼓励他们创新与发展。虽然教师不可能把所有的学生都培养成科学家，但是每个学生都有其独特的禀赋、爱好和特长，教师需要做的事情就是提供良好的条件，让他们的能力得到充分的发展。其中重要途径之一就是在教学中激发学生的学习兴趣，让好奇和问题带领学生沉浸在数学探索的过程中。

    我始终认为，面向人的全面发展的数学课堂不应该只有抽象的概念和难解的题目，数学教师要保持终身学习，不断积累，使教学基于教材又高于教材，用鲜活生动的案例激发学生的学习兴趣，鼓励他们不畏艰难、勇于探索数学的本质，帮助他们学会欣赏数学之美，体验发现和创造的成就感。