《古典概型》 （高一数学） 执教者：潘洪艳

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    我个人认为，要为学生上“有意义”的数学课。这样的数学课堂，不能止于知识的传承，要关注内容的本源，学习深刻的数学，要基于数学的逻辑引导学生掌握发现问题、研究问题的方法。

 “做影响学生一生发展的数学教育”几乎是每位数学教师的愿景。1996年，我怀着对教育的梦想，踏上了神圣的教育讲台，26年来，我一直在思考，我的数学教学要带给学生什么。

    个人简介

    潘洪艳，山东省实验中学正高级数学教师。全国优秀教师，苏步青数学教育奖获得者，齐鲁名师，山东省教学能手，山东省三八红旗手，山东省省级学科工作坊主持人，山东师范大学、济南大学校外研究生指导教师。主持多项科研课题，在全国中文核心期刊发表论文多篇，出版专著《高中数学教与研的实践与思考》。

    从“教什么”到“如何教”

    当年，一位教授曾在我大学毕业时叮嘱我：“年轻教师面临的最大问题是学科视野的局限性。”初入教坛的我虽深以为然，但还是认为以自己优秀的学业水平，教好课是没有问题的。但是当我把准备了十几遍的第一节课一口气讲完时，自己也觉得不对劲——我的课堂成了教师自己的课堂，学生在哪儿？正当我充满疑惑时，我的导师邵丽云老师问我：“你的数学课要带给学生什么？”

    这一问让我犹如醍醐灌顶。为了想清楚自己究竟要带给学生什么，我开始大量阅读教育教学著作、专业期刊，在对照中不断反思自己的教学行为；主动去资深教师的课堂上听课，看他们如何顺应学生思维捕捉教学契机；积极参加团队教研活动，在交流与分享中积累教学智慧。 

    在这一过程中，我逐渐明白自己要教什么。数学要带给学生“知”与“识”，数学教学要让学生经历发现数学、感知数学、建立数学、运用数学、理解数学的过程。如椭圆及其标准方程，发现数学有很多选择：有生活场景，圆柱形水杯与桌面成30度夹角时的水面边缘、球的点光源投影或手电筒射出光束与黑板面角度不同时投射出的光圈曲线等；有应用场景，如行星围绕恒星的运行轨道等；有历史背景，可通过追溯圆锥曲线的历史，介绍古希腊数学家阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》等。这些均可引导学生理解椭圆为何产生以及椭圆的产生过程，借助当德兰双球实验得到数量关系，“画”椭圆、“折”椭圆，让学生在“做数学”中理解数学。

    下一步，我开始思考不同课型该如何教。根据教学内容和形式，数学课型可分为新授课（概念课、规则课）、复习课、讲评课、探究课、建模课等。新授课关注“为什么”“是什么”“如何想的”“从哪里想的”“还有什么”，教学中重视情境构建、把握本质、关注迁移；复习课重视对学生系统构建能力的培养，教学中引导学生深化理解、整体构建，关注思维生长；讲评课则由例及类，深度促思；探究课关注数学“再发现”“再创造”；建模课关键在于“过程”“实践”“活动”。

    在研究如何教的过程中，我逐渐领悟教师不仅要清楚教什么，更要思考不教什么。教师应适时成为学生的“身后人”，把发现留给学生、把“渔场”留给学生、把个性体验留给学生，引导学生体会自主探究的乐趣。

    从“如何教”到“为什么教”

    一次期末考试，学生的成绩差异很大，一些考试结果不理想的学生情绪低落，反映试题难度大，部分题目不适应。问题出在哪里？仔细分析试题之后，我发现整套试题对数学能力考查全面，部分题目背景新颖，体现了数学文化的渗透以及数学与其他学科的融合，这对学生的数学思维、数学阅读、知识迁移、数学建模等都提出了较高要求。学生成绩差异拉大，说明我课堂上的教与学都需要改进。

    这让我再次思考：我的数学教学要培育学生什么？从“教什么”到“如何教”，需要明确“为什么而教”“为什么这样教”。我个人认为，要为学生上“有意义”的数学课。这样的数学课堂，不能止于知识的传承，要关注内容的本源，学习深刻的数学，要基于数学的逻辑引导学生掌握发现问题、研究问题的方法。

    在这一理念下，我的课堂教学也在发生改变。如函数概念的教学，这是学生在高中数学学习过程中遇到的第一个一般意义上的抽象概念。经过思考，我决定选择两个教学立足点——初中定义和丰富实例，并通过活动设计引导学生在主动实践中抽象出集合对应下的函数概念，体会初中定义的“动”与高中定义的“静”，让学生明白：为什么学——采用“集合—对应”说的必要性；学什么——概念与研究过程（路径）；怎么学——研究方法，让数学教学的“明”线更明、“暗”线不暗。

    学生的课堂反馈也给予我信心。在总结课堂感悟时，就有学生表示“我感觉到数学抽象的力量”“我学习的数学走向抽象化和符号化”“我学到了如何去研究一个概念”“我觉得变量说与集合对应说是从不同角度和立场去认识函数”，甚至还有学生能清晰说出自己是怎样进行数学抽象的。

    我发现，当学生在学习的过程中为自己加上“研究者”这一身份时，他们就会积极调动自身的主动性，基于数学逻辑实现自主学习。在讲解函数奇偶性的课堂上，我问：“几个函数图像除了显示单调性是否还有其他特征？”学生不仅回答“对称性”，还能说出“类比单调性的研究方法，要定量描述对称性”。再比如教数列时，我提出：“研究一个新的数学概念，需要经历一个怎样的研究过程？”学生们尝试运用建构学习新概念的一般学习方法去研究数列，遇到新问题也会积极探究、迎难而上。

    数学概念的发展史本质上是一个不断抽象的过程，根据历史相似性原则，教师可以引导学生从学科发展历史的视角进行研究。如函数概念的教学，指导学生查阅史料，从格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、欧拉、柯西、戴德金、布尔巴基学派等数学家的贡献分析函数概念的各阶段，体会其发展与演变。再如对数的教学，课上关注整体性，以追溯运算的发展历程为对数的生成找到支点，理解对数的存在意义；课下指导学生梳理史料，从早期的简化运算的思想到奈皮尔、别尔基创立对数，再到对数符号的发明以及我国数学家对对数的研究，引导学生通过梳理脉络追溯对数的发展，理解对数的本源。立足于概念发展的本源去研究概念，意在让学生在深刻理解数学知识的同时体会数学的科学价值，感悟数学中的科学精神。

    当然，教学没有固定模式。“道虽迩，不行不至；事虽小，不为不成。”只有跳出因循守旧的教学“舒适区”，在继承优良传统、借鉴先进经验的基础上大胆创新，才有可能创造、发展更多的可能性。

    从“我教学生”到“师生共进”

    教学是师生相互促进、结伴成长的历程。学生在教师用心创造的环境中发展才智与潜能，同时教师也不断被学生新的探索所激励，促进教学相长。

    在多年教学过程中，我逐渐认识到，教师是学生内在生长力量的“唤醒者”。于是，通过梳理多年的教学与教研实践，我进一步完善课堂教学观，打造高中数学“生”“动”思维课堂——生即生成、生动、“生”动，动即动态、主动、互动。

    教学是生成的，课堂是动态的，这个过程充满着师生在共同思考中相互激发的力量。曾有一次在椭圆标准方程的推导过程中，有学生发现定义坐标化、移项平方后的等式有这样的几何特征：椭圆上点到一个定点与到一条定直线的距离之比是焦距与长轴的比。他提出：“满足这个条件的点的轨迹是椭圆吗？”由此引发其他学生对方程的研究兴趣，接着又有学生提出椭圆的标准方程变形后有几何特征：“椭圆上异于长轴端点的任意一点与长轴两端点连线斜率之积为一个定值，那么满足这个条件的点的轨迹是椭圆吗？”学生们接二连三的提问激发了我，于是我决定调整教学方案，转而由“数”到“形”，以椭圆为例展现解析几何的特征，让学生完整理解坐标法。快下课时，我建议学生“继续研究椭圆标准方程及其推导过程，能否有新的发现”，于是经过学生们自己的思考与探讨，一篇篇关于如何得到椭圆、解析几何初识等主题的数学小论文在班级里形成了。

    而后，我又把视线聚焦于课程，课程的品质决定着育人的品质，面对高中数学课程标准提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标，我和同事们对本校的数学课程进行了整合，打造出数学博学课程、数学空间课程、数学登攀课程三大课程群，以及“三引”教学体系。分层与精准相结合的教学体系，在为学生夯实基础的同时，也为学生不同的志趣和发展提供了个性化成长的空间。

    多年来，我收获了一届届学生丰厚的数学学业回报，和学生们一起享受着师生共进的快乐。有名学生说，数学课原来是“玄之又玄”，现在是“众妙之门”。一名原本对数学发怵的女生悄悄告诉我：“老师，我才发现数学世界也可以这样缤纷美丽！”其实我也想对我的学生们说：谢谢你们，这个过程是我们用彼此的智慧和激情共同完成的，它让我在课堂上体验到生命的增值与律动！

    “数学教学的探索永无止境，但我们有一颗滚烫的敬业乐业之心，钟情于数学教学，踏踏实实，不懈追求，必然在数学教学的征途上留下一串串闪光的脚印，年龄随着时光而老去，但教育的心永远是年轻的。”这是我的导师邵丽云老师曾说过的一段话，它时刻鞭策我永葆初心，在数学教学的探索征途中驰而不息，努力为学生上一堂又一堂“有意义”的数学课。