2020年06月18日 星期四
科学认识和培养小学生代数思维
商红领

    发展学生数学素养是数学学习的核心价值,数学思维是数学素养的集中体现。但是,在小学中低年级,算术思维教学和培养占主导地位,代数思维的培养和渗透尚未引起应有的重视。

    代数思维的价值和意义

    全球视域内,从美国“大众代数”“早期代数”等理念到国际数学教育委员会在“代数教学的未来”会议上正式成立“早期代数工作组”,标志着“早期代数思维”培养正式成为国际数学教育研究的一个重要领域,在小学阶段发展学生的代数思维已经成为全球共识。

    代数思维培养指向数学抽象、逻辑推理和数学建模三个数学基本思想。第一,代数思维的基本特征是用符号表示,而符号是在数的基础上进一步抽象的结果。第二,代数是一种形式的符号操作,这种操作是一种基于规则的推理。第三,代数思维主要表现为利用符号系统表征研究对象的结构与关系,其本质是数学建模。因此,培养学生的代数思维既能打开学生抽象思维的大门,也能为逻辑推理提供工具,为学生使用数学的语言表达意图奠定基础。此外,代数思维也日益成为历史学、科学、经济学、工程学、计算机科学、商业以及日常生活的重要内容。

    代数思维培养的误区

    综合已有研究以及当下实践,在小学生代数思维培养上存在两种错误认识:

    一是有人认为代数思维可在学生认知发展基础上自然成长,随着年龄的增长、大脑的发育以及认知水平的提高,代数思维会自然而然地得到应有的发展,不需外在过多关注和干预。但从本质来看,算术是数的运算,代数则是符号的运算。事实证明,从算术到代数的转换对学生来说是困难的,学生需年龄较小时就有机会从事代数推理,自小学起就应该渗透和培养代数思维的习惯。

    二是有人认为算术思维是代数思维发展的前提基础,认为代数思维必须建立在小学阶段培养的计数和计算能力、几何推理以及测量技能等概念上。但是,教师在引导学生理解和应用相关概念解决问题的过程中,往往忽略了对问题中的关系与结构的关注,却更加强调结果的正确性。为了获取问题的答案,学生也把注意力更多地放在对具体数的操作和思考上,而忽视了对现实问题中蕴含的结构和关系的把握与探讨。

    以上两种错误认识,导致了教学实践中算术教学与代数教学的割裂和分离。通常认为,算术是小学数学的重中之重,代数是中学数学的重中之重。大多数学校的数学课程将算术和代数分开,这种分离使很多学生在中高年级时学习代数更加困难。

    如何培养小学生代数思维

    如何发展小学生的代数思维?不妨从以下四个方面入手。

    一是科学认识小学生代数思维的本质及其发展规律。

    代数思维的显著特征是符号语言的运用,符号是数学思维和数学推理的基本要素。代数思维的培养并非是经历足够多的练习便可跨越的量变过程,而是必须经历从数到代数的抽象、运算和建模等结构转换才能实现的质变过程,其重要标志是从等号程序观念到等号关系观念的转变。算术思维与代数思维之间并不是截然分开的。在算术思维的学习过程中,应该充分利用教材中的素材,适时创造条件和机会引导学生向代数思维转变。代数的解释方法也可以用于算术式的解释。例如,表达式“3+4”不仅可以理解为计算过程的描述,还可以理解为数字的符号,进而关注其结构特征,即3个和4个各种不同东西汇集在一起的统一符号模型,学生建立起这样的意识和认识需要不断地思考和积累。算术思维好并不预示着代数思维一定强。算术思维可以说是代数思维的基础,运算本身就是逻辑推理的过程,但并不意味着一定要经过反复练习夯实好算术思维之后才可以接触和学习代数,而应该在算术的练习和强化过程中适时引入代数思维的倾向和体验,让学生充分感知代数思维的魅力和价值。

    二是深入分析小学生代数思维发展的外在表现和内在机制。小学生代数思维发展不足的主要表现是只要看见式子就想算出结果,将其视为因果关系,等号左边是因,右边是果,很难将等号两侧的内容看作等价关系;另外,在方程学习过程中难以理解方程的价值和意义,不能将方程视为解决一类问题的模型,而只是作为一个解决问题的工具,为了用方程而用方程,不懂方程的本质和内涵。

    根据皮亚杰的认知发展理论,小学生(7—12岁)正处于具体运算阶段,正值形象思维向抽象思维过渡的阶段,其对事物的理解与认识更多依托于具体情境,该阶段的儿童更适合事实性、技能性的学习内容的习得。代数是对算术进一步的抽象,代数的学习需要更多抽象思维的参与,因此小学生代数思维意识和能力不强,需要教师不断地引导和强化,保证学生从算术思维到代数思维的顺利过渡。

    三是充分利用教材中的显性和隐性代数思维培养载体。从显性内容来看,小学阶段的代数初步知识包括式与方程、正比例和反比例。式与方程包括用字母表示数和简易方程。“字母表示数”的学习标志着小学生正式进入代数的学习,开始从对“数量”的理解更多地转向对“关系”的探讨。在讲授这些相关内容时,教师要通过多种途径、多元刺激和多方引导,帮助学生从关注数量到关注关系,从关注获取结果到关注结构特征,从关注直接的数到关注表示数的各种符号,从关注特殊到关注一般。学生要经历将现实问题抽象为方程的过程,积累将现实问题数学化的经验,会用方程解决简单问题,进一步理解等量关系,不断增强代数思维能力。此外,还有各种运算律,这类内容的教学不仅仅是教会学生记住和应用各种运算律,而是重视运算律获得的过程,以及对运算律意义的理解,进而让学生感知等量关系。从隐性内容来看,教材中也蕴含着很多培养学生代数思维的设计和安排,关键看教师能否充分利用这些内容去启发、引导学生关注等价关系与结构特征,突破算术思维定式,逐步形成代数思维习惯。

    四是创造多元机会,帮助学生从算术思维逐渐向代数思维过渡。关系性思维、结构性思维是代数思维的重要特征。要关注学生关系性思维、结构性思维及其应用,顺应并引导学生思维。学生利用算术思维解决问题同样需要利用基本数量关系,在遇到逆向思维问题时,学生需要通过正向结构推导出逆向结构,然后利用逆向结构算出结果。这个过程是学生利用关系进行转化的过程,不但可以训练学生的逆向思维,还可以帮学生积累对数学结构进行操作的经验。教师要充分关注这种数量关系转化的价值,发展学生的关系性思维。要鼓励学生运用方程解决问题。方程是小学代数初步的核心内容,教师要通过不同的问题载体帮助学生感知和体验数量关系建模的过程和意义,帮助学生养成应用方程的习惯,提高学生运用方程解决问题的能力。

    (作者单位:北京市海淀区中关村第一小学)

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中国教育报